Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂過(guò)F₁作不與x軸重合的直線l₁，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF₂的周長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過(guò)F₁作與直線l₁垂直的直線l₂，且l₂與橢圓C交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可得4a=4$\sqrt{2}$，及離心率公式，a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線l₁的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得4a=4$\sqrt{2}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，及a²=b²+c²，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有所求橢圓C的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）若直線l₁斜率不存在，則此時(shí)|PQ|=$\sqrt{2}$，|MN|=2$\sqrt{2}$，
四邊形PQMN的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=2；
若直線l₁的斜率存在且不為0，則可設(shè)l₁：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程，消去y得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{（4{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}-2）（2{k}^{2}+1）}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
同理，用-$\frac{1}{k}$ 代替k，得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
則四邊形PQMN的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=4•$\frac{1+2{k}^{2}+{k}^{4}}{2+5{k}^{2}+2{k}^{4}}$=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+10{k}^{2}+4}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$），由4k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{4{k}^{2}•\frac{4}{{k}^{2}}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)等號(hào)成立，
即有$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$∈（0，$\frac{1}{16}$]，則 4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$）∈[$\frac{16}{9}$，2），
綜上所述，四邊形PQMN的面積S∈[$\frac{16}{9}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查四邊形面積的范圍的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．