Question

12．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\;，\;b＞0）$的左、右兩焦點，B是虛軸的端點，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M．若|MF₂|=|F₁F₂|，則C的離心率是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 確定PQ，MN的斜率，求出直線PQ與漸近線的交點的坐標，得到MN的方程，從而可得M的橫坐標，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的離心率．

解答 解：線段PQ的垂直平分線MN，|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=$\frac{c}$，k_MN=-$\frac{c}$．
直線PQ為：y=$\frac{c}$（x+c），兩條漸近線為：y=±$\frac{a}$x．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}（x+c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，得Q（ $\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}（x+c）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$得P（ $\frac{-ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∴直線MN為y-$\frac{{bc}^{2}}{{c}^{2}{-a}^{2}}$=-$\frac{c}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}{-a}^{2}}$），
令y=0得：x_M=c（1+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=c（1+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$），
∴3a²=2c²
解之得：e²=$\frac{3}{2}$，即e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何形狀，考查解方程組，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．