Question

19．函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域為[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡f（x），根據(jù)x的取值范圍求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍即可．

解答 解：∵f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
∴f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．