Question

14．若函數(shù)f（x）=a-bcosx的最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$，求函數(shù)g（x）=-4asinbx的最值和最小正周期．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=a-bcosx的最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$，b≠0．當b＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=\frac{5}{2}}\\{b+a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，當b＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=-\frac{1}{2}}\\{b+a=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，分別解出a，b，再利用三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a-bcosx的最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$，b≠0．
當b＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=\frac{5}{2}}\\{b+a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-$\frac{3}{2}$．此時g（x）=-4sin（-$\frac{3}{2}x$）=4sin$\frac{3}{2}x$，其最小正周期為$\frac{4π}{3}$，當$sin\frac{3}{2}x$=1時取得最大值為4．
當b＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=-\frac{1}{2}}\\{b+a=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=$\frac{3}{2}$．此時g（x）=-4sin$\frac{3}{2}x$，其最小正周期為$\frac{4π}{3}$，當$sin\frac{3}{2}x$=-1時取得最大值為4．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．