Question

15．如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若直線l過點P，且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點E，使得直線PC∥平面EBD；
（3）若PC⊥CD，PB=4，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）要證PA⊥BD，只需證明AB⊥BD、PB⊥BD（因為PA、PB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線）；
（2）在上l取一點E，使PE=BC，利用直線l∥直線BC，推出PC∥BE，可以證明直線PC∥平面EBD；
（3）證明PB⊥平面ABCD，再求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：∵ABCD為直角梯形，AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$BD，
∴AB⊥BD，
∵PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
BD⊥平面PAB，
∵PA?面PAB，∴PA⊥BD；
（2）解：在上l取一點E，使PE=BC，
∵PE∥BC，∴四邊形BCPE是平行四邊形，
∴PC∥BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：∵PC⊥CD，DC⊥BC，PC∩BC=C，
∴DC⊥平面PBC，
∴DC⊥PB，
∵PB⊥BD，BD∩DC=D，
∴PB⊥平面ABCD，
∴四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×4$=2．

點評 本題考查直線與直線垂直，直線與平面平行與垂直，四棱錐P-ABCD的體積，考查空間想象能力，是中檔題．