Question

20．已知圓C過(guò)點(diǎn)P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱．
（1）求圓C的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），且截圓C的弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）設(shè)Q為圓心C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x，y），由圓C與圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，點(diǎn)M（-2，-2）與點(diǎn)C（x，y）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，列出方程組能求出C（0，0），由此能求出圓C的方程．
（2）由垂直徑定理得圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=$\frac{1}{2}$；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為kx-y+$\frac{1-k}{2}$=0，由點(diǎn)到直線的距離公式能求出所求直線l的方程．
（3）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=1，$\overrightarrow{CQ}$=（x，y），$\overrightarrow{MQ}$=（x+2，y+2），由此能求出$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y），圓C與圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，
則點(diǎn)M（-2，-2）與點(diǎn)C（x，y）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+2}{x+2}=1}\\{\frac{x-2}{2}+\frac{y-2}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，∴C（0，0），
∴r=|CP|=1，
∴圓C的方程為x²+y²=1．
（2）若l截圓C所得弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，由垂直徑定理得圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=$\frac{1}{2}$，此時(shí)l截圓C所得弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=$\frac{1}{2}$=k（x-$\frac{1}{2}$），即kx-y+$\frac{1-k}{2}$=0，
則d=$\frac{|\frac{k-1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得k=0，此時(shí)l的方程為y=$\frac{1}{2}$．
∴所求直線l的方程為$y=\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{2}$．
（3）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=1，$\overrightarrow{CQ}$=（x，y），$\overrightarrow{MQ}$=（x+2，y+2），
$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{MQ}$=x（x+2）+y（y+2）=x²+y²+2x+2y=（x+1）²+（y+1）²-2，
記D（-1，-1），$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{MQ}$=|DQ|²-2≥（|DC|-1）²-2=1-2$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值為1-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、圓、點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．