Question

9．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a，其前n項和為S_n，且滿足S_n+S_n-1=4n²（n≥2，n∈N₊），若對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （3，5）
• B． （4，6）
• C． [3，5）
• D． [4，6）

Answer 1

分析 由S_n+S_n-1=4n²化簡可得S_n+1-S_n-1=8n+4，從而可得a_n+2-a_n=8，由a₁=a知a₂=16-2a₁=16-2a，a₃=4+2a，a₄=24-2a，從而解得．

解答 解：∵S_n+S_n-1=4n²，S_n+1+S_n=4（n+1）²，
∴S_n+1-S_n-1=8n+4，
即a_n+1+a_n=8n+4，
即a_n+2+a_n+1=8n+12，
故a_n+2-a_n=8，
由a₁=a知a₂+2a₁=16，
∴a₂=16-2a₁=16-2a，
a₃=8×2+4-（16-2a）=4+2a，
a₄=24-2a；
若對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，
只需使a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
即a＜16-2a＜4+2a＜24-2a，
解得，3＜a＜5，
故選A．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了整體思想的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．