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3.甲、乙、丙三支球隊進行某種比賽,其中兩隊比賽,另一隊當裁判,每局比賽結束時,負方在下一局當裁判.設各局比賽雙方獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$,各局比賽結果相互獨立,且沒有平局,根據抽簽結果第一局甲隊當裁判
(Ⅰ)求第四局甲隊當裁判的概率;
(Ⅱ)用X表示前四局中乙隊當裁判的次數,求X的分布列和數學期望.

分析 (Ⅰ)第一局無論誰輸,第二局都由甲隊上場,第四局甲隊當裁判(記為事件A),第三局甲隊參加比賽(不能當裁判)且輸掉(記為事件A2),可知第二局甲隊參加比賽且獲勝(記為事件A1),A1和A2都發(fā)生,A才發(fā)生,由此能求出第四局甲隊當裁判的概率.
(Ⅱ)由題意S的所有可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和E(X).

解答 解:(Ⅰ)第一局無論誰輸,第二局都由甲隊上場,第四局甲隊當裁判(記為事件A),
第三局甲隊參加比賽(不能當裁判)且輸掉(記為事件A2),可知第二局甲隊參加比賽且獲勝(記為事件A1),
∴A1和A2都發(fā)生,A才發(fā)生,即P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=$\frac{1}{4}$.
(Ⅱ)由題意S的所有可能取值為0,1,2,
記“第三局乙丙比賽,乙勝丙”為事件A3,“第一局比賽,乙勝丙”為事件B1,
“第二局乙甲比賽,乙勝甲”為事件B2,“第三局比賽乙參加比賽,乙負”為事件B3,
∴P(X=0)=P(B1B2A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=$\frac{1}{8}$,
P(X=2)=P($\overline{{B}_{1}}{B}_{3}$)=P($\overline{{B}_{1}}$)P(B3)=$\frac{1}{4}$,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=$\frac{5}{8}$,
∴X的分布列為:

 X 0 1 2
 P $\frac{1}{8}$ $\frac{5}{8}$ $\frac{1}{4}$
∴E(X)=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{5}{8}+2×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{8}$.

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用.

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12345678
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2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
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