Question

3．甲、乙、丙三支球隊進行某種比賽，其中兩隊比賽，另一隊當裁判，每局比賽結束時，負方在下一局當裁判．設各局比賽雙方獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$，各局比賽結果相互獨立，且沒有平局，根據抽簽結果第一局甲隊當裁判
（Ⅰ）求第四局甲隊當裁判的概率；
（Ⅱ）用X表示前四局中乙隊當裁判的次數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）第一局無論誰輸，第二局都由甲隊上場，第四局甲隊當裁判（記為事件A），第三局甲隊參加比賽（不能當裁判）且輸掉（記為事件A₂），可知第二局甲隊參加比賽且獲勝（記為事件A₁），A₁和A₂都發(fā)生，A才發(fā)生，由此能求出第四局甲隊當裁判的概率．
（Ⅱ）由題意S的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）第一局無論誰輸，第二局都由甲隊上場，第四局甲隊當裁判（記為事件A），
第三局甲隊參加比賽（不能當裁判）且輸掉（記為事件A₂），可知第二局甲隊參加比賽且獲勝（記為事件A₁），
∴A₁和A₂都發(fā)生，A才發(fā)生，即P（A）=P（A₁A₂）=P（A₁）P（A₂）=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由題意S的所有可能取值為0，1，2，
記“第三局乙丙比賽，乙勝丙”為事件A₃，“第一局比賽，乙勝丙”為事件B₁，
“第二局乙甲比賽，乙勝甲”為事件B₂，“第三局比賽乙參加比賽，乙負”為事件B₃，
∴P（X=0）=P（B₁B₂A₃）=P（B₁）P（B₂）P（A₃）=$\frac{1}{8}$，
P（X=2）=P（$\overline{{B}_{1}}{B}_{3}$）=P（$\overline{{B}_{1}}$）P（B₃）=$\frac{1}{4}$，
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=$\frac{5}{8}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{5}{8}+2×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．