Question

13．設(shè)P為直線3x+4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做圓C：x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí)，∠APB=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，判斷四邊形面積最小時(shí)P的位置，利用點(diǎn)到直線的距離求出PC，然后求出∠P的大小．

解答 解：圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，即圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，圓心坐標(biāo)（1，1），半徑為1；
由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)三角形的面積的和，因?yàn)镃A⊥PA，CA=1，
顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，
即PC_最小值=$\frac{|3+4+3|}{5}$=2．
sin∠CPA=$\frac{CA}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CPA=30°，所以∠P=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正確判斷四邊形面積最小時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．