Question

4．已知點(diǎn)P在直線x+3y-2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），且y₀＜x₀+2，則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{3}$，0）
• B． （-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（0，+∞）
• C． （-$\frac{1}{3}$，0）
• D． （-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 點(diǎn)P在直線x+3y-2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），利用$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}+6|}{\sqrt{10}}$，可得x₀+3y₀+2=0．又y₀＜x₀+2，設(shè)$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k_OM，分類討論：當(dāng)點(diǎn)位于線段AB（不包括端點(diǎn)）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于射線MB（不包括端點(diǎn)B）時(shí)，即可得出．

解答 解：∵點(diǎn)P在直線x+3y-2=0上，點(diǎn)Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
∴$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}+6|}{\sqrt{10}}$，化為x₀+3y₀+2=0．
又y₀＜x₀+2，
設(shè)$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k_OM，
直線x+3y+2=0與x，y軸分別相交于A（-2，0），B$（0，-\frac{2}{3}）$．
當(dāng)點(diǎn)位于線段AB（不包括端點(diǎn)）時(shí)，則k_OM＞0，當(dāng)點(diǎn)位于射線MB（不包括端點(diǎn)B）時(shí)，k_OM$＜-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（0，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、線性規(guī)劃的知識(shí)、斜率的意義及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力，屬于中檔題．