Question

6．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB、AD的中點．
（1）求證：EF平行平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）求直線A₁C與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF∥BD，BD∥B₁D₁，從而EF∥B₁D₁，由此能證明EF∥平面CB₁D₁．
（2）推導(dǎo)出B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁⊥B₁D₁，由此能證明平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
（3）由AA₁⊥底面ABCD，得∠A₁CA是直線A₁C與平面ABCD所成角，由此能求出直線A₁C與平面ABCD所成角的正切值．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵E、F分別為棱AB、AD的中點，∴EF∥BD，
∵BD∥B₁D₁，∴EF∥B₁D₁，
∵EF?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁．
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁⊥B₁D₁，
∵AA₁∩A₁C₁=A₁，B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
∴B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
解：（3）∵AA₁⊥底面ABCD，
∴∠A₁CA是直線A₁C與平面ABCD所成角，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為a，
則AA₁=a，AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
tan∠A₁CA=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線A₁C與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空是思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)．