Question

14．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若平面SAB∩平面SDC=SH，求證：AB∥SH；
（Ⅱ）求直線SC與平面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥DC，得AB∥面SDC，由此能證明AB∥SH．
（Ⅱ）推導(dǎo)出SA⊥BC，AB⊥BC，從而BC⊥平面SAB，∠CSB是SC與面SAB所成的角，由此能求出直線SC與面SAB所成的角的大�。�

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因為AB∥DC，AB?面SDC，DC?面SDC，
所以AB∥面SDC．（3分）
又因為面SAB∩面SDC=SH，AB?面SAB，
所以AB∥SH．（6分）
解：（Ⅱ）因為SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
所以SA⊥BC；                       （7分）
又因為AB⊥BC，且SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB．（8分）
所以SC在面SAB上的射影為SB，所以∠CSB是SC與面SAB所成的角．（9分）
因為$SB=\sqrt{S{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}$，BC=2，$SC=\sqrt{S{B^2}+B{C^2}}=2\sqrt{3}$，（11分）
所以$sin∠CSB=\frac{BC}{SC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以直線SC與面SAB所成的角為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線線平行的證明，考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．