Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出求出m、n的值即可；
（2）求出AD=CD，即可得出結(jié)論；
（3）利用PB⊥PC，P在拋物線上，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（0，2），
∴-$\frac{1}{2}$-m+n=0，n=2
解得：m=$\frac{3}{2}$，n=2，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$，∴D（$\frac{3}{2}$，0），
∴AD=$\frac{5}{2}$，AC=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{\frac{9}{4}+4}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形；
（3）設(shè)P（x，y），則
∵C（0，2），B（4，0），PB⊥PC
∴$\frac{y-2}{x}•\frac{y}{x-4}$=-1，
∴x（x-4）+y（y-2）=0
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴x（x-4）+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）=0，
∴x=2，
∴y=3，∴存在一點(diǎn)P（2，3），使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．