Question

13．在凸四邊形ABCD中，對角線BD不平分對角中的任意一個．點P在四邊形ABCD內(nèi)部，并且滿足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．若A，B，C，D四點共圓，證明：AP=CP．

Answer 1

分析 設(shè)直線DP、BP分別交四邊形ABCD的外接圓于E、F兩點，由已知條件推導(dǎo)出四邊形BEFD、四邊形BECA均為等腰梯形，從而得到點P在AC的中垂線上，由此能證明AP=CP．

解答 證明：設(shè)直線DP、BP分別交四邊形ABCD的外接圓于E、F兩點，
連結(jié)EB、EC、EF、FC、FD，
∵∠PBC=∠DBA，∴FC=AD，∴DF∥AC，
∵∠PDC=∠BDA，∴EC=BA，∴BE∥AC，
∴BE∥DF，
∴四邊形BEFD、四邊形BECA均為等腰梯形，且這兩個等腰梯形有共同的對稱軸，
∵P是等腰梯形BEFD的對角線的交點，
∴P一定在BE的中垂線上，∴點P在AC的中垂線上，
∴AP=CP．

點評 本題考查線段相等的證明，是中檔題，等腰梯形上底的中垂線也是下度的中垂線這個性質(zhì)，一般很少用作證題的依據(jù)，本題中用它證明線段相等新穎、巧妙，不落俗套．