Question

3．用定義證明函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上是增函數(shù)，并求x∈[1，3]時(shí)f（x）值域．

Answer 1

分析 設(shè)1＜x₁＜x₂，計(jì)算f（x₁）-f（x₂），判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，得出結(jié)論，利用單調(diào)性求出最值，得到值域．

解答 證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$=x₁-x₂+$\frac{{2（x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x-$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f_min（x）=f（1）=-1，f_max（x）=f（3）=$\frac{7}{3}$．
∴x∈[1，3]時(shí)f（x）值域是[-1，$\frac{7}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，利用函數(shù)單調(diào)性求最值，是基礎(chǔ)題．