Question

14．已知一個上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺的兩底面邊長分別為20cm和30cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高．

Answer 1

分析 利用棱臺的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出棱臺的高．

解答 解：如圖所示，
在正三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，
兩底面邊長分別為AB=30cm，A₁B₁=20cm，
∴側(cè)面積為S_側(cè)=3×$\frac{1}{2}$×（30+20）•DD₁，
兩底面積之和為S_底=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（30²+20²），
∵S_側(cè)=S_底，
∴$\frac{3×50}{2}$•DD₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1300，
解得DD₁=$\frac{13\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁²=$（\frac{13\sqrt{3}}{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}×30×\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}×20×\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{144}{3}$，
∴OO₁=4$\sqrt{3}$；
即棱臺的高為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了求正三棱臺的高的問題，解題時應(yīng)畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題，是計算題目．