Question

5．已知圓O：x²+y²=r²（r＞0）與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，直線l₁：y=2x+1被圓O所截得的弦長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，圓O上相異兩動(dòng)點(diǎn)A，B所在的直線l₂的方程為y=kx+m，且滿足直線MA與直線MB的斜率之積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)r的值；
（Ⅱ）試探究直線AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓心O（0，0）到直線l₁：y=2x+1的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$，計(jì)算即可得到r=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用直線的斜率公式計(jì)算即可得到m的值，進(jìn)而判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l₁：y=2x+1被圓O所截得的弦長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴圓心O（0，0）到直線l₁：y=2x+1的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$，
∴r=1；              
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，
設(shè)直線AB：y=kx+m，代入x²+y²=1
∴（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∵k_MA•k_MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{2m}{1+{k}^{2}}+1}{\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得m=2+$\sqrt{3}$，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，2+$\sqrt{3}$）．
綜上：直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相交，考查圓的方程的求法和直線方程聯(lián)立圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，屬于中檔題．