Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+θ）-cos$\frac{x}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-$\frac{x}{2}$）（其中A為常數(shù)，θ∈（-π，0），若實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃滿足；①x₁＜x₂＜x₃，②x₃-x₁＜2π，③f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則θ的值為-$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f′（x）=Acos（x+θ）+$\frac{1}{2}sin（x-\frac{π}{6}）$，由題設(shè)條件得：x∈[x₁，x₃]時，f′（x）有兩個零點(diǎn)，由此能求出θ的值．

解答 解：∵f（x）=Asin（x+θ）-cos$\frac{x}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-$\frac{x}{2}$）（其中A為常數(shù)，θ∈（-π，0），
∴${f}^{'}（x）=Acos（x+θ）+\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}cos（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）$-$\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}sin（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）$
=Acos（x+θ）+$\frac{1}{2}sin（x-\frac{π}{6}）$，
∵實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃滿足；①x₁＜x₂＜x₃，②x₃-x₁＜2π，③f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
∴由題設(shè)條件①②③，得：x∈[x₁，x₃]時，f′（x）有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)cos（x+θ）=ksin（x-$\frac{π}{6}$）時，f′（x）在[x₁，x₃]這個小于2π的區(qū)間才有兩個零點(diǎn)，
即x+θ=x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$+kπ，
∵θ∈（-π，0），∴$θ=-\frac{π}{6}-\frac{π}{2}$=-$\frac{2π}{3}$．
故答案為：-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)加法定理的合理運(yùn)用．