Question

19．①x+$\frac{1}{x}$≥2；②|x+$\frac{1}{x}$|≥2；③$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥2；④$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$＞xy；⑤$\frac{|x+y|}{2}$≥$\sqrt{|xy|}$．其中正確的是②（寫出序號(hào)即可）．

Answer 1

分析 由基本不等式可證②正確，其余舉反例即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式可得x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$即x=1時(shí)取等號(hào)，
同理可得當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$即x=-1時(shí)取等號(hào)，
故x+$\frac{1}{x}$≥2或x+$\frac{1}{x}$≤-2，即|x+$\frac{1}{x}$|≥2，故①錯(cuò)誤，②正確；
③錯(cuò)誤，取x=1且y=-1時(shí)，可得-2≥2，矛盾；
④$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$＞xy錯(cuò)誤，取x=y=1可得1＞1，矛盾；
⑤$\frac{|x+y|}{2}$≥$\sqrt{|xy|}$錯(cuò)誤，取x=1且y=-1可得0≥1，矛盾．
故選答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求式子的范圍，舉反例是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．