Question

4．設(shè)集合A={x|2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0}，若當(dāng)x∈A時，函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$的最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 求解對數(shù)不等式得到log₂x的范圍，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$，換元后分類討論求出函數(shù)的最值，進(jìn)一步求得實數(shù)a的值．

解答 解：由2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0，得$2lo{{g}_{2}}^{2}x-7lo{g}_{2}x+3≤0$，
解得：$\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}x≤3$．
∴A={x|2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0}={x|$\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}x≤3$}，
f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=（log₂x-a）（log₂x-2）=$lo{{g}_{2}}^{2}x-（a+2）lo{g}_{2}x+2a$．
令t=log₂x（$\frac{1}{2}≤t≤3$），
則函數(shù)化為g（t）=t²-（a+2）t+2a，
其對稱軸方程為t=$\frac{a+2}{2}$．
當(dāng)$\frac{a+2}{2}≤\frac{7}{4}$，即$a≤\frac{3}{2}$時，g（t）_max=g（3）=9-3（a+2）+2a=2，解得：a=1；
當(dāng)$\frac{a+2}{2}＞\frac{7}{4}$，即$a＞\frac{3}{2}$時，$g（t）_{max}=g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}（a+2）+2a=2$，解得：a=$\frac{11}{6}$．
∴實數(shù)a的值為1，$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了利用換元法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．