Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過其左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，連接PF₂交右支于M點(diǎn)，若|PM|=3|MF₂|，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），求得P的坐標(biāo)，再由|PM|=3|MF₂|，可得$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
令x=-c，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），M（m，n），
由|PM|=3|MF₂|，可得$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，
即有（m+c，n-$\frac{^{2}}{a}$）=3（c-m，-n），
可得m=$\frac{1}{2}$c，n=$\frac{^{2}}{4a}$．
即有M（$\frac{1}{2}$c，$\frac{^{2}}{4a}$），
代入雙曲線方程，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{^{2}}{16{a}^{2}}$=1，
由a²+b²=c²，e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{{e}^{2}-1}{16}$=1，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿足雙曲線方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．