Question

10．已知|AB|=3，A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，則動點P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，0），B（O，b），P（x，y）．由|AB|=3，可得a²+b²=9．由于$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，可得a、b關(guān)系．消去a，b即可得出動點P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)A（a，0），B（O，b），P（x，y）．
∵|AB|=3，∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，化為a²+b²=9．
∵$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=$\frac{2}{3}$（a，0）+$\frac{1}{3}$（0，b）=（$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$b）．∴x=$\frac{2}{3}a$，y=$\frac{1}{3}b$．可得a=$\frac{3}{2}x$，b=3y，代入a²+b²=9，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴動點P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

點評 本題考查了向量的線性運算、向量相等、兩點之間的距離公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．