Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（1）若A，B，C成等差數(shù)列，且滿足$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，證明：△ABC為等邊三角形；
（2）若a，b，c依次成等比數(shù)列，求B的范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍化簡已知等式可得tanC=$\sqrt{3}$，從而解得C，由2B=A+C，且A+B+C=π，即可求得A，B，C的值，即可得證．
（2）由條件得b²=ac，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$ 利用基本不等式求得cosB的最小值為$\frac{1}{2}$，由此求得角B的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，
∴$\sqrt{3}acosC=csinA$，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA．
∵角A，B，C為△ABC中內(nèi)角，sinA≠0，cosC≠0，
∴整理可得：tanC=$\sqrt{3}$，從而解得C=$\frac{π}{3}$，
又∵A，B，C成等差數(shù)列，既有2B=A+C，且A+B+C=π，
∴可解得：A=B=C=$\frac{π}{3}$，即：△ABC為等邊三角形；
（2）∵a、b、c成等比數(shù)列，b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，cosB=$\frac{1}{2}$，故 0＜B≤$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．