Question

3．已知f（x）=e^x，g（x）=x-m（m∈R），設h（x）=f（x）•g（x）．
（Ⅰ）求h（x）在[0，1]上的最大值．
（Ⅱ）當m=0時，試比較e^f（x-2）與g（x）的大小，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出h（x）的導數(shù)，討論m的范圍，若m≤1，若1＜m＜2時，若m≥2時，求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值；
（Ⅱ）當m=0時，求得g（x），對x討論，①當x≤0時，②當x＞0時，求出單調(diào)性，結合零點存在定理和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可判斷大小．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=（x-m）e^x，h′（x）=（x-m+1）e^x，
由0≤x≤1，h′（x）＞0可得0≤x≤1且x＞m-1；
若m≤1，h（x）在[0，1]遞增，h（x）_max=h（1）=（1-m）e；
若1＜m＜2時，h（x）在[0，m-1）遞減，在[m-1，1]遞增，
h（x）_max=max{h（0），h（1）}，而h（1）-h（1）=m（1-e）+e，
當1＜m＜$\frac{e}{e-1}$時，h（x）_max=（1-m）e，
當$\frac{e}{e-1}$≤m＜2時，h（x）_max=-m；
若m≥2時，h（x）在[0，1]遞減，h（x）_max=h（0）=-m．
綜上可得h（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{（1-m）e，m＜\frac{e}{e-1}}\\{-m，m≥\frac{e}{e-1}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）當m=0時，e^f（x-2）=${e}^{{e}^{x-2}}$，g（x）=x，
①當x≤0時，顯然有e^f（x-2）＞g（x）；
②當x＞0時，lne^f（x-2）=e^x-2，lng（x）=lnx，
設φ（x）=e^x-2-lnx，φ′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，
φ′（x）在（0，+∞）遞增，而φ′（1）＜0，φ′（2）＞0，
φ′（x）在（0，+∞）有唯一的實數(shù)根x₀，
且1＜x₀＜2，e^x₀-2-=$\frac{1}{{x}_{0}}$，φ（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
φ（x）≥φ（x₀）=e^x₀-2-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2=$\frac{（{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）^{2}}{{x}_{0}}$＞0，
即有φ（x）=e^x-2-lnx＞0，即e^x-2＞lnx，
即有e^f（x-2）＞g（x）．
綜上可得，e^f（x-2）＞g（x）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查構造函數(shù)運用導數(shù)判斷單調(diào)性，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．