Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+b）在點（1，1）處的切線與x軸平行．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）證明：$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-f（k）}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用f′（1）=0，f（1）=a-lnb=1，即可求實數(shù)a，b的值；
（2）k-f（k）=lnk，設(shè)$h（x）=\frac{{{x^2}-1}}{4}-lnx（x≥2）$，則$h′（x）=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2}}{2}＞0$恒成立，即h（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，b_n＞a_n等價于$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{_{2}}$=h（2）=$\frac{3}{4}$-ln2＞0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f′（x）=a-\frac{1}{x+b}$，又由已知得f′（1）=0①f（1）=a-lnb=1②
由①，②解得：a=1，b=0
（2）k-f（k）=lnk，設(shè)${b_n}=lnn，{T_n}=\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}，{a_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{4}{{{n^2}-1}}$
當n≥2時有，$\frac{1}{a_n}=\frac{{{n^2}-1}}{4}＞0，{b_n}=lnn＞0$
設(shè)$h（x）=\frac{{{x^2}-1}}{4}-lnx（x≥2）$，則$h′（x）=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2}}{2}＞0$恒成立
即h（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴b_n＞a_n等價于$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{_{2}}$=h（2）=$\frac{3}{4}$-ln2＞0，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{8}$+…+$\frac{4}{{n}^{2}-1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
∴$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-f（k）}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．