Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點B（0，b），過點B且與BF₂垂直的直線交x軸負半軸于點D，且2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求證：△BF₁F₂是等邊三角形；
（2）若過B、D、F₂三點的圓恰好與直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（3）設過（2）中橢圓C的右焦點F₂且不與坐標軸垂直的直線l與C交于P、Q兩點，M是點P關于x軸的對稱點．在x軸上是否存在一個定點N，使得M、Q、N三點共線，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設D（x₀，0）（x₀＜0），利用$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}D}=\vec 0$得b²=3c²，求解∠BF₂F₁=60°，證明△BF₁F₂是等邊三角形．
（2）求出點D的坐標，利用△BDF₂是直角三角形，得到其外接圓圓心為F₁（-c，0），半徑為2c，然后求解所求橢圓C的方程．
（3）直線l過F₂且不與坐標軸垂直，設直線l的方程為：y=k（x-1），k≠0．與橢圓聯(lián)立，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），結合韋達定理，求解直線QM的方向向量，求解直線QM的方程，求解直線QM與x軸交于定點（4，0）．推出結果．

解答 （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分（4分），第2小題滿分（6分），第3小題滿分（6分）．
解：（1）證明：設D（x₀，0）（x₀＜0），由F₂（c，0），B（0，b），故$\overrightarrow{{F_2}B}=（-c\;，\;b）$，$\overrightarrow{BD}=（{x_0}\;，\;-b）$，
因為$\overrightarrow{{F_2}B}⊥\overrightarrow{BD}$，所以$-c{x_0}-{b^2}=0$，…（1分）
${x_0}=-\frac{b^2}{c}$，故$\overrightarrow{{F_2}D}=（{-\frac{b^2}{c}-c\;，\;0}）$，…（2分）
又$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=（2c\;，\;0）$，故由$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}D}=\vec 0$得$3c-\frac{b^2}{c}=0$，所以，b²=3c²．…（3分）
所以，$tan∠B{F_2}{F_1}=\frac{c}=\sqrt{3}$，∠BF₂F₁=60°，即△BF₁F₂是等邊三角形．…（4分）
（2）由（1）知，$b=\sqrt{3}c$，故a=2c，此時，點D的坐標為（-3c，0），…（1分）
又△BDF₂是直角三角形，故其外接圓圓心為F₁（-c，0），半徑為2c，…（3分）
所以，$\frac{|-c-3|}{2}=2c$，c=1，$b=\sqrt{3}$，a=2，…（5分）
所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．    …（6分）
（3）由（2）得F₂（1，0），因為直線l過F₂且不與坐標軸垂直，
故可設直線l的方程為：y=k（x-1），k≠0．    …（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\end{array}\right.$得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，…（2分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，…（3分）
由題意，M（x₁，-y₁），故直線QM的方向向量為$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}+{y_1}）$，
所以直線QM的方程為$\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{y+{y_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}$，…（4分）
令y=0，得$x=\frac{{{y_1}（{x_2}-{x_1}）}}{{{y_2}+{y_1}}}+{x_1}=\frac{{{y_1}{x_2}+{y_2}{x_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{{k（{x_1}-1）{x_2}+k（{x_2}-1）{x_1}}}{{k（{x_2}-1）+k（{x_1}-1）}}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-k（{x_1}+{x_2}）}}{{k（{x_1}+{x_2}）-2k}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）-2}}$
=$\frac{{2•\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-2}}$=$\frac{-24}{-6}=4$．…（5分）
即直線QM與x軸交于定點（4，0）．
所以，存在點N（4，0），使得M、Q、N三點共線．    …（6分）
（注：若設N（x₀，0），由M、Q、N三點共線，得$|{\begin{array}{l}{x_1}&{-{y_1}}&1\\{{x_2}}&{y_2}&1\\{{x_0}}&0&1\end{array}}|=0$，
得${x_0}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$．）

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應用，橢圓的方程的求法，三點共線，考查分析問題解決問題的能力．