Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{{x}^{2}-4ax+3{a}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若a=1，在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（Ⅱ）若f（x）≥2-x對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{x}-1，x＜1\\{x}^{2}-4x+3，x≥1\end{array}\right.$，進(jìn)而可得函數(shù)的圖象；
（Ⅱ）若f（x）≥2-x對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，即x²+（1-4a）x+（3a²-2）≥0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\{log}_{3}a≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜1≤3a\\{log}_{3}a＜1\end{array}\right.$解得答案．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{x}-1，x＜1\\{x}^{2}-4x+3，x≥1\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
；
（Ⅱ）若f（x）≥2-x對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，
即x²-4ax+3a²≥2-x對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，
即x²+（1-4a）x+（3a²-2）≥0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，
由y=x²+（1-4a）x+（3a²-2）的圖象是開口朝上，且以直線x=$2a-\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故$\left\{\begin{array}{l}2a-\frac{1}{2}≤1\\ 3{a}^{2}-4a≥0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}1＜2a-\frac{1}{2}＜2\\ \frac{4（3{a}^{2}-2）-（1-4a）^{2}}{4}≥0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}2a-\frac{1}{2}≥2\\ 3{a}^{2}-8a+4≥0\end{array}\right.$
解得：a≤0，或a≥2，
（Ⅲ）解3^x-a=0得：x=log₃a，
解x²-4ax+3a²=0得：x=a，或x=3a
若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\{log}_{3}a≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜1≤3a\\{log}_{3}a＜1\end{array}\right.$
解得：a≥3，或$\frac{1}{3}$≤a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．