Question

17．已知直線y=k（x+3）（k＞0）與拋物線C：y²=12x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=3|FB|，則k的值等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程化為k²x²+（6k²-12）x+9k²=0，（k＞0）．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用焦點(diǎn)弦與拋物線的定義可得：|FA|=x₁+3，|FB|=x₂+3，利用|FA|=3|FB|，聯(lián)立解出即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線y=k（x+3）（k＞0）與拋物線C：y²=12x，
化為k²x²+（6k²-12）x+9k²=0，（k＞0）．
∴x₁+x₂=$\frac{12}{{k}^{2}}$-6①，x₁x₂=9②．
∵|FA|=3|FB|，|FA|=x₁+3，|FB|=x₂+3，
∴x₁+3=2（x₂+3）③，
化為x₁=2x₂+3．
聯(lián)立①②③，解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．