Question

9．設函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，當x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω、再根據(jù)最大值求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調性求得它的單調區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$）．
根據(jù)當x=$\frac{π}{12}$時，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2•$\frac{π}{12}$+φ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，∴φ+$\frac{5π}{12}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴取φ=$\frac{π}{12}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
同理求得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值、以及它的單調性，屬于基礎題．