Question

12．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足①f（4）=0；②曲線y=f（x+1）關(guān)于點（-1，0）對稱；③x∈（-4，0）時，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）．若y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有7個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-e^-2）
• B． （-1-e^-2，-e^-2）
• C． （-1-e^-2，0）
• D． （-1-e^-2，-1-3e^-4）

Answer 1

分析 可判斷f（x）在R上是奇函數(shù)，從而可化為當x∈（-4，0）時，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）有兩個零點，從而轉(zhuǎn)化為xe^x+e^x-m=1在（-4，0）上有兩個不同的解，再令g（x）=xe^x+e^x-m-1，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，從而解得．

解答 解：∵曲線y=f（x+1）關(guān)于點（-1，0）對稱；
∴曲線y=f（x）關(guān)于點（0，0）對稱；
∴f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
又∵f（4）=0，
∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有7個零點，
故x∈（-4，0）時，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）有兩個零點，
而f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）
=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）
=log₂（xe^x+e^x-m），
故xe^x+e^x-m=1在（-4，0）上有兩個不同的解，
令g（x）=xe^x+e^x-m-1，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是減函數(shù)，在（-2，0）上是增函數(shù)；
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m-1，g（0）=1-m-1=-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m-1，
而g（-4）＜g（0），
故-2e^-2+e^-2-m-1＜0＜-4e^-4+e^-4-m-1，
故-1-e^-2＜m＜-1-3e^-4，
故選：D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用．