Question

16．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（I）若f（-1）=f（2），且函數(shù)y=f（x）-x的值域?yàn)閇0，+∞），求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個零點(diǎn)，求2b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）因?yàn)閒（-1）=f（2），函數(shù)y=f（x）-x的值域?yàn)閇0，+∞），可得b，c的值，及函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≥0\\ c＜0\end{array}\right.$，利用線性規(guī)劃可得2b+c的取值范圍．

解答 解：（I）因?yàn)閒（x）=x²+bx+c，f（-1）=f（2），
所以1-b+c=4+2b+c，
解得：b=-1，…（3分）
又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）-x的值域?yàn)閇0，+∞），
即y=x²-2x+c的值域?yàn)閇0，+∞），
故$\frac{4c-4}{4}$=0，
解得：c=1，
所以f（x）=x²-x+1；          …（7分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在[-1，1]上有兩個零點(diǎn)，且c＜0，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≥0\\ c＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-b+c+1≥0\\ b+c+1≥0\\ c＜0\end{array}\right.$其對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：
 …（11分）
令Z=2b+c，
則當(dāng)b=-1，c=0時，Z取最小值-2，
當(dāng)b=1，c=0時，Z取最大值2，
由于可行域不包括（-1，0）和（1，0）點(diǎn)
故-2＜2b+c＜2（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，線性規(guī)劃，難度中檔．