Question

7．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面ABCD的中心，P、Q分別是棱DD₁、CC₁的中點．
（1）畫出面D₁BQ與面ABCD的交線，簡述畫法及確定交線的依據(jù)．（2）求證：平面D₁BQ∥平面PAO．

Answer 1

分析 （1）延長D₁Q與DC，交于點M，連接BM．得BM即為面D₁BQ與面ABCD的交線．由已知能推導(dǎo)出M在面D₁BQ與面ABCD的交線上，B也在面D₁BQ與面ABCD的交線上，從而得到BM即為面D₁BQ與面ABCD的交線．
（2）連接PQ、BD，四邊形PABQ為平行四邊形，從而AP∥BQ，進(jìn)而BQ∥面AOP，同理可證D₁B∥面AOP，由此能證明面BQD₁∥面AOP．

解答 （1）解：作法：延長D₁Q與DC，交于點M，連接BM．得BM即為面D₁BQ與面ABCD的交線…（2分）
理由如下：
由作法可知，M∈直線D₁Q，
又∵直線D₁Q?面D₁BQ，∴M∈面D₁BQ，
同理可證M∈面ABCD，
則M在面D₁BQ與面ABCD的交線上，
又∵B∈面D₁BQ，且B∈面ABCD，
則B也在面D₁BQ與面ABCD的交線上，…（4分）
且面D₁BQ與面ABCD有且只有一條交線，
則BM即為面D₁BQ與面ABCD的交線．…（5分）
（2）證明：連接PQ、BD，由已知得四邊形PABQ為平行四邊形
∴AP∥BQ，∵AP?面AOP，BQ?面AOP，
∴BQ∥面AOP，…（8分）
同理可證D₁B∥面AOP，
又∵BQ∩D₁B=B，BQ?面BQD₁，BD₁?面BQD₁，
∴面BQD₁∥面AOP．…（10分）

點評 本題考查兩平面交線的作法及證明，考查兩平面平行的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．