Question

17．已知a＞0，函數(shù)f（x）=lg（a•2^x-a+4）在區(qū)間（-1，+∞）上有意義．
（1）求a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式：$\frac{{x}^{2}+2x}{a}$+a²＜（a+1）x+2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可知，a•2^x-a+4＞0在區(qū)間（-1，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出a的取值范圍即可，
（2）關(guān)鍵是分類討論，根據(jù)題目的要求仔細分類，解不等式即可．

解答 解：（1）f（x）=lg（a•2^x-a+4）在區(qū)間（-1，+∞）上有意義，
則a•2^x-a+4＞0在區(qū)間（-1，+∞）恒成立，
∴a（2^x-1）＞-4，
當(dāng)-1＜x＜0時，a＜$\frac{4}{1-{2}^{x}}$，∵$\frac{4}{1-{2}^{x}}$＞8，∴a≤8，
當(dāng)x＞0時，a＞$\frac{4}{1-{2}^{x}}$，∵$\frac{4}{1-{2}^{x}}$＜0，∴a＞0，
當(dāng)x=0時，a∈R，
綜上所述a的取值范圍為（0，8]，
（2）$\frac{{x}^{2}+2x}{a}$+a²＜（a+1）x+2．
①當(dāng)a＞0時，不等式化為x²+2x+a³＜a（a+1）x+2a，
即x²-（-2+a+a²）x+a³-2a＜0，
即[x-（a²-2）]（x-a）＜0，
當(dāng)a²-2＞a時，即a＞2時，解得a＜x＜a²-2，
當(dāng)a²-2＜a時，即0＜a＜2時，解得a²-2＜x＜a，
當(dāng)a²-2=a時，即a=2時，無解，
②當(dāng)a＜0時，不等式化為x²+2x+a³＞a（a+1）x+2a，
即x²-（-2+a+a²）x+a³-2a＞0，
即[x-（a²-2）]（x-a）＞0，
當(dāng)a²-2＞a時，即a＜-1時，解得x＜a，或x＞a²-2，
當(dāng)a²-2＜a時，即-1＜a＜0時，解得x＜a²-2，或x＞a，
當(dāng)a²-2=a時，即a=-1時，解得x≠1，
綜上所述：當(dāng)a＞2時，解集為（a，a²-2），
當(dāng)a=2時，解集為∅，
當(dāng)0＜a＜2時，解集為（a²-2，a），
當(dāng)-1＜a＜0時，解集為（-∞，a²-2）∪（a，+∞），
當(dāng)a=-1時，解集為（-∞，1）∪（1，+∞），
當(dāng)a＜-1時，解集為（-∞，a）∪（a²-2，+∞）．

點評 本題考查了不等式的解法，正確分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．