Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn+an=l（n∈N*），Sn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1 ， 試比較an與8Sn的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1= （n∈N*），

∴ = = =﹣1，

又 = ，

∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為﹣4，公差為﹣1的等差數(shù)列．

∴ ，化為 （n∈N*）．

（Ⅱ）∵bn+an=l（n∈N*），

∴bn=1﹣an= ，

∴ ，

∴S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1= +…+ = = ，

從而an﹣8Sn= = ，

∴當(dāng)n≤2時(shí)，an＞8Sn；

當(dāng)n≥3時(shí)，an＜8Sn．

【解析】（1）表示出和，進(jìn)行作差得出其為定值-4，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到的通項(xiàng)公式，（2）表示出，由裂項(xiàng)求和得到S，進(jìn)行作差可得到當(dāng)n≤2時(shí)，an＞8Sn；當(dāng)n≥3時(shí)，an＜8Sn．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．