Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，它的最小正周期為π，則（　�。�

• A． f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)$（0，\frac{1}{2}）$
• B． f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)
• C． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$

Answer 1

分析 根據(jù)周期求出ω，根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱求出φ，可得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．

解答 解：由題意可得 $\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，故f（$\frac{2π}{3}$）=Asin（$\frac{4π}{3}$+φ）=±A，故可取φ=$\frac{π}{6}$．
故函數(shù)f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z，故選項(xiàng)B不正確．
由于A不確定，故選項(xiàng)A不正確． 令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，可得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈z，
故函數(shù)的對(duì)稱中心為 （$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈z，故選項(xiàng)C正確．選項(xiàng)D不正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題