11.同時具有性質(zhì)“①最小正周期是4π;②$x=\frac{π}{3}$是圖象的一條對稱軸;③在區(qū)間$(\frac{2π}{3},\frac{5π}{6})$上是減函數(shù)”的一個函數(shù)是( 。
A.$y=sin(2x-\frac{π}{6})$B.$y=cos(2x-\frac{π}{6})$C.$y=cos(\frac{x}{2}+\frac{π}{3})$D.$y=sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{3})$

分析 利用函數(shù)的周期,求出ω,利用圖象關系直線x=$\frac{π}{3}$對稱,即可判斷選項的正誤.

解答 解:對于選項A、B,∵T=$\frac{2π}{2}$=π,故A,B不正確;
對于選項C,如果x=$\frac{π}{3}$為對稱軸.
所以$\frac{\frac{π}{3}}{2}$+$\frac{π}{3}$=kπ,k∈Z,可得$\frac{π}{2}$=kπ,k不存在,不滿足題意,故C不正確;
對于選項D,因為T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π,且由$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,解得圖象的對稱軸方程為:x=2kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z,當k=0時,x=$\frac{π}{3}$為圖象的一條對稱軸.
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$,k∈Z,解得單調(diào)遞減區(qū)間為:[4kπ+$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{7π}{3}$],k∈Z,可得函數(shù)在區(qū)間$(\frac{2π}{3},\frac{5π}{6})$上是減函數(shù),故D正確.
故選:D.

點評 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,考查推理能力,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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