Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2p}$x²-x+3在區(qū)間[-1，2]上的最大值為M，最小值為m，求實(shí)數(shù)p為何值時(shí)，2M+m=3．

Answer 1

分析 配方法化簡(jiǎn)f（x）=$\frac{1}{2p}$（x-p）²+3-$\frac{p}{2}$，從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值，從而代入求p即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2p}$x²-x+3
=$\frac{1}{2p}$（x-p）²+3-$\frac{p}{2}$，
①當(dāng)p≤-1時(shí)，
f（x）在[-1，2]上是減函數(shù)，
故M=f（-1）=$\frac{1}{2p}$+1+3=$\frac{1}{2p}$+4，m=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+$\frac{2}{p}$+1=3，
解得，p=-$\frac{1}{2}$（舍去）；
②當(dāng)-1＜p＜0時(shí)，
M=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，m=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=6-p+$\frac{2}{p}$+1=3，
解得，p=2+$\sqrt{6}$（舍去）或p=2-$\sqrt{6}$；
③當(dāng)0＜p≤0.5時(shí)，
m=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，M=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=$\frac{4}{p}$+2+3-$\frac{p}{2}$=3，
無解；
④當(dāng)0.5＜p＜2時(shí)，
m=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，M=$\frac{1}{2p}$+4，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+3-$\frac{p}{2}$=3，
無解；
⑤當(dāng)p≥2時(shí)，
m=f（2）=$\frac{2}{p}$+1，M=$\frac{1}{2p}$+4，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+$\frac{2}{p}$+1=3，
無解；
綜上所述，
p=2-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及配方法的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了分類討論的思想應(yīng)用．