Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x+y+m=0和圓M：x²+y²=9，若圓M上存在點(diǎn)P，使得P到直線l的距離為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直線l的距離，利用三鐵函數(shù)的性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵直線l：x+y+m=0和圓M：x²+y²=9，若圓M上存在點(diǎn)P，使得P到直線l的距離為2，
∴設(shè)P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，
∴P到直線l的距離d=$\frac{|3cosθ+3sinθ+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+m|}{\sqrt{2}}$=2，
∵-3$\sqrt{2}$$≤3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤3\sqrt{2}$，|3$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$+m|=2$\sqrt{2}$，
∴-5$\sqrt{2}≤m≤5\sqrt{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．