Question

16．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₃+a₄=3（a₁+a₂），a_2n-1=2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=m-$\frac{{{a_n}+1}}{2^n}$（m為常數(shù)）．令c_n=b_2n （n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得c_n=b_2n=$\frac{2n-2}{{2}^{2n-1}}$=（n-1）•（$\frac{1}{4}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可化簡可得．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃+a₄=3（a₁+a₂）得：
a₁+2d+a₁+3d=3（a₁+a₁+d）⇒2a₁=d①
由a_2n-1=2a_n得：a₁+（2n-1）d-1=2[a₁+（n-1）d]⇒a₁=d-1②
由①②得：a₁=1，d=2，∴a_n=2n；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，${b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=m-\frac{{{a_n}+1}}{2^n}-（m-\frac{{{a_{n-1}}+1}}{{{2^{n-1}}}}）=\frac{n-2}{{{2^{n-1}}}}$，
∴c_n=b_2n=$\frac{2n-2}{{2}^{2n-1}}$=（n-1）•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
${T_n}=0×{（\frac{1}{4}）^0}+1×{（\frac{1}{4}）^1}+2×{（\frac{1}{4}）^2}+…+（n-1）×{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，$\frac{1}{4}{T_n}=0×{（\frac{1}{4}）^1}+1×{（\frac{1}{4}）^2}+2×{（\frac{1}{4}）^3}+…+（n-2）×{（\frac{1}{4}）^{n-1}}+（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}$，
兩式相減得：
$\frac{3}{4}{T_n}={（\frac{1}{4}）^1}+{（\frac{1}{4}）^2}+{（\frac{1}{4}）^3}+…+{（\frac{1}{4}）^{n-1}}-（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}=\frac{{\frac{1}{4}-{{（\frac{1}{4}）}^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}-（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}$
=$\frac{1}{3}-\frac{3n+1}{3}•{（\frac{1}{4}）^n}$，
∴${T_n}=\frac{4}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．