Question

13．設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$．
（1）若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域?yàn)閇2^m，2ⁿ]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，解出即可得出．
（2）a＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．可得函數(shù)f（x）在x∈[m，n]（m＜n）單調(diào)遞增，分別由f（m）=2^m，f（n）=2ⁿ，化為：（2^m）²+（a-1）•2^m+a=0，（2ⁿ）²+（a-1）•2ⁿ+a=0，因此方程t²+（a-1）t+a=0由不相等的正實(shí)數(shù)根．可得△＞0，1-a＞0，a＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．
∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴2-$\frac{2a}{{2}^{-x}+a}$-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$=0，化為：a²=1．
解得a=±1．
經(jīng)過驗(yàn)證：a=±1都滿足題意．
（2）a＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$．
則函數(shù)f（x）在x∈[m，n]（m＜n）單調(diào)遞增，
∴f（m）=1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2^m，f（n）=1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2ⁿ，
由1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2^m，化為：（2^m）²+（a-1）•2^m+a=0，
由1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2ⁿ，化為（2ⁿ）²+（a-1）•2ⁿ+a=0，
∴方程t²+（a-1）t+a=0有不相等的正實(shí)數(shù)根．
∴△=（a-1）²-4a＞0，1-a＞0，a＞0，
聯(lián)立解得：$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．