Question

16．在圓柱OO₁中，ABCD是其軸截面，EF⊥CD于O₁（如圖所示），AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
（1）設平面BEF與⊙O所在的平面的交線為l，平面ABE與⊙O₁所在的平面的交線為m，證明：l⊥m；
（2）求二面A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導出AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面，再由EF⊥CD．能證明l⊥m．
（Ⅱ）分別以EF在⊙O所在平面內(nèi)的投影、AB、OO₁為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：由于圓柱的兩底面互相平行，
∴AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面．…（2分）
∴l(xiāng)∥EF，m∥AB．…（4分）
而EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）解：分別以EF在⊙O所在平面內(nèi)的投影、AB、OO₁為坐標軸建立空間直角坐標系（如圖所示），
則A（0，-1，0），B（0，1，0），E（-1，0，$\sqrt{2}$），F(xiàn)（1，0，$\sqrt{2}$）…（8分）
設平面ABE的法向量分別是$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）
則由$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{AB}=0$及$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{AE}=0$，
得$\left\{\begin{array}{l}2y=0\\-x+y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{2}，0，1$）…（10分）
設平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$0，\sqrt{2}，1$）
∵cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{1}{3}$
∴所求二面角A-BE-F的平面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．建立坐標系，利用向量法是解決空間角常用的方法．