Question

4．已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）和B（1，1），且圓心C在直線l：x+y+5=0上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x，y）是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求3x-4y的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出圓心和半徑即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）線段AB的中點(diǎn)為$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，又k_AB=-1
故線段AB的垂直平分線方程為$y-\frac{3}{2}=1•（x-\frac{1}{2}）$即x-y+1=0…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+y+5=0\end{array}\right.$得圓心C（-3，-2）…（4分）
圓C的半徑長(zhǎng)$r=|AC|=\sqrt{{{（0+3）}^2}+{{（2+2）}^2}}=5$
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+（y+2）²=25…（6分）
（2）令z=3x-4y，即3x-4y-z=0
當(dāng)直線3x-4y-z=0與圓C相切于點(diǎn)P時(shí)，z取得最值…（8分）
則圓心C（-3，-2）到直線3x-4y-z=0的距離為$d=\frac{|-9+8-z|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=5$，解得z=-26或z=24
故3x-4y的最小值為-26，最大值為24…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．