Question

3．已知拋物線y²=x與直線y=k（x-1）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)S_△AOB=$\sqrt{10}$時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）將直線AB的方程代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）求得弦長AB，以及點(diǎn)O到直線AB的距離，運(yùn)用三角形的面積公式，解方程即可得到所求k的值．

解答 解：（1）證明：將直線y=k（x-1）代入拋物線的方程y²=x，
消去y可得，k²x²-（2k²+1）x+k²=0，
判別式為（2k²+1）²-4k⁴=4k²+1＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=2+$\frac{1}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂+1-x₁-x₂）
=k²（1+1-2-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即有OA⊥OB；
（2）由（1）可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}-4}$，
點(diǎn)O到直線AB：y=k（x-1）的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}-4}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2k+\frac{1}{k}）^{2}-4{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得k=±$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時(shí)考查弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．