Question

9．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的左頂點為A₁，右焦點為F₂，P為雙曲線右支上一點，則$\overrightarrow{P{A_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值為（　　）

• A． -4
• B． $-\frac{81}{16}$
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）（x≥1），根據(jù)雙曲線的方程，易得A₁、F₂的坐標(biāo)，將其代入$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$中，可得關(guān)于x、y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的方程，可得$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的二次函數(shù)，由x的范圍，可得答案．

解答 解：根據(jù)題意雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$，設(shè)P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F(xiàn)₂（3，0），
$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-x，y）•（3-x，y）=x²-2x-3+y²，
又${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$，故y²=8（x²-1），
于是$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=9x²-2x-11=9（x-$\frac{1}{9}$）2-$\frac{100}{9}$，
當(dāng)x=1時，取到最小值-4；
故答案為：-4．

點評 本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，涉及最值問題；解題的思路是先設(shè)出變量，表示出要求的表達(dá)式，結(jié)合圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為只含一個變量的關(guān)系式，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)或函數(shù)的最值進(jìn)行計算．