Question

3．（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中，a，b，c均為整數(shù)，且f（0），f（1）均為奇數(shù)．求證：f（x）=0無整數(shù)根．  
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）先通過條件得到a，b同奇偶，然后分別討論若a，b同為偶數(shù)與同為奇數(shù)兩種情形，然后根據(jù)數(shù)值的奇偶進(jìn)行判定方程有無整數(shù)根；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$），運(yùn)用三元基本不等式即可得證．

解答 證明：（1）f（0）=c為奇數(shù)，
f（1）=a+b+c為奇數(shù)，則a+b為偶數(shù)，
所以a，b同奇偶，
假設(shè)整數(shù)根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0，
若a，b同為偶數(shù)，則at²+bt為偶數(shù)，
所以at²+bt+c為奇數(shù)可得at²+bt+c≠0
與at²+bt+c=0矛盾；
若a，b同為奇數(shù)，若t為偶數(shù)則at²+bt為偶數(shù)，
若t為奇數(shù)則at²+bt為偶數(shù)，
所以 at²+bt+c為奇數(shù) 可得at²+bt+c≠0與at²+bt+c=0矛盾．
綜上所述方程f（x）=0無整數(shù)根；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）
≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，取得等號(hào)．
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，屬于中檔題．