Question

11．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且f（1）=$-\frac{2}{3}$．
（1）證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）當(dāng)x∈[-2，6]時(shí)，解不等式f（x²-3）＞f（x）-2．

Answer 1

分析 （1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，進(jìn)而得出f（x）=-f（-x），即可證明為奇函數(shù)；設(shè)x₁＜x₂，通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）來判斷f（x₂）與f（x₁）的大小關(guān)系；
（2）先求出f（3）的值，由（2）可知函數(shù)為減函數(shù)，可知x=-3時(shí)，取得最大值，x=6時(shí)取得最小值．
（3）利用已知條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式組，求解即可．

解答 解：（1）f（x）在R是減函數(shù)；
證明：令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
當(dāng)x=1，y=0時(shí)，則f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）為奇函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由題意得f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R是減函數(shù)；
（2）x∈[-3，3]，∵f（1）=-$\frac{2}{3}$，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（2）=-$\frac{4}{3}$，
∴f（3）=-2
∵f（x）在[-3，3]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）_min=f（3）=-2．
（3）由（2）可知：f（3）=-2
不等式f（x²-3）＞f（x）-2即不等式f（x²-3）＞f（x）+f（3）=f（x+3）．
f（x）在R是減函數(shù)；
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3＜x+3\\ x+3≤6\\-2≤{x}^{2}-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜3\\ x≤3\\ x≤-1或x≥1\end{array}\right.$
不等式f（x²-3）＞f（x）-2的解集為：{x|-2＜x≤-1或1≤x＜3}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷一般采取取特殊值的方法．