Question

9．在平面直角坐標系中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{24}+\frac{{y{\;}^2}}{12}$=1，設(shè)R（x₀，y₀）是橢圓C上任一點，從原點O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，切點分別為P，Q．
（1）若直線OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率都存在，并記為k₁，k₂，求證：2k₁k₂+1=0．

Answer 1

分析 （1）由直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，可得OR=4，再由R在橢圓上，滿足橢圓方程，求得點R的坐標，即可得到圓R的方程；
（2）運用直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合二次方程的韋達定理和點R滿足橢圓方程，化簡整理，即可得證．

解答 解：（1）由題圓R的半徑為$2\sqrt{2}$，因為直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，
所以$OR=\sqrt{2}r=4$，即${x_0}^2+{y_0}^2=16$，①
又R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{24}+\frac{{{y_0}{\;}^2}}{12}=1$，②
由①②及R在第一象限，解得${x_0}={y_0}=2\sqrt{2}$，
所以圓R的方程為：${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{（{y-2\sqrt{2}}）^2}=8$；
（2）證明：因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x均與圓R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=2\sqrt{2}$，化簡得$（{x_0}^2-8）{k_1}^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+{y_0}^2-8=0$，
同理有$（{x_0}^2-8）{k_2}^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+{y_0}^2-8=0$，
所以k₁，k₂是方程$（{x_0}^2-8）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-8=0$的兩個不相等的實數(shù)根，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-8}}{{{x_0}^2-8}}$．又因為R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{24}+\frac{{{y_0}{\;}^2}}{12}=1$，
即${y_0}^2=12-\frac{1}{2}{x_0}^2$，所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}{x_0}^2}}{{{x_0}^2-8}}=-\frac{1}{2}$，
即2k₁k₂+1=0．

點評 本題考查橢圓的方程和運用，同時考查直線和圓相切的條件，以及韋達定理的運用，考查運算化簡能力，屬于中檔題．