Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線l與x軸交于點(diǎn)E，與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，由弦長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．解方程可得橢圓方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值，設(shè)E（x₀，0），討論直線AB與x軸重合和垂直，以及斜率存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到定值．

解答 解：（1）由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，設(shè)a=3k（k＞0），
則$c=\sqrt{6}k$，b²=3k²，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{9{k^2}}}+\frac{y^2}{{3{k^2}}}=1$，
因直線l垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)，即${x_A}={x_B}=\sqrt{6}k$，
代入橢圓方程，解得y=±k，于是$2k=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即$k=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值，設(shè)E（x₀，0），
當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，有$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_0}+\sqrt{6}）}^2}}}+\frac{1}{{{{（\sqrt{6}-{x_0}）}^2}}}=\frac{{12+2{x_0}^2}}{{{{（6-{x_0}^2）}^2}}}$，
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{2}{{2（1-\frac{{{x_0}^2}}{6}）}}=\frac{6}{{6-{x_0}^2}}$，
由$\frac{{12+2{x_0}^2}}{{{{（6-{x_0}^2）}^2}}}=\frac{6}{{6-{x_0}^2}}$，解得${x_0}=±\sqrt{3}$，$\frac{6}{{6-{x_0}^2}}=2$，
所以若存在點(diǎn)E，此時(shí)$E（±\sqrt{3}，0）$，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值2．
根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線AB過(guò)點(diǎn)$E（\sqrt{3}，0）$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又設(shè)直線AB的方程為$x=my+\sqrt{3}$，與橢圓C聯(lián)立方程組，
化簡(jiǎn)得$（{m^2}+3）{y^2}+2\sqrt{3}my-3=0$，所以${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+3}}$，
又$\frac{1}{{E{A^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_1}-\sqrt{3}）}^2}+{y_1}^2}}=\frac{1}{{{m^2}{y_1}^2+{y_1}^2}}=\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_1}^2}}$，
所以$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_1}^2}}+\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_2}^2}}=\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-2{y_1}{y_2}}}{{（{m^2}+1）{y_1}^2{y_2}^2}}$，
將上述關(guān)系代入，化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=2$．
綜上所述，存在點(diǎn)$E（±\sqrt{3}，0）$，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．