Question

3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$．
（1）請(qǐng)作出可行域并用陰影表示，并求出可行域所代表圖形的面積；
（2）在（1）條件下，求ω=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍；
（3）在（1）條件下，求z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）聯(lián)立方程組求出B的坐標(biāo)，代入三角形面積公式得答案；
（2）由ω=$\frac{y-1}{x+1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，1）連線的斜率求解；
（3）由z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的幾何意義，即可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)M（-5，-4）的距離得答案．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，

（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
∴陰影部分△OAB的面積為$\frac{1}{2}×1×2=1$；
（2）ω=$\frac{y-1}{x+1}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，1）連線的斜率，
∵k_PO=-1，${k}_{PB}=\frac{2-1}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，
∴ω=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍是[-1，$\frac{1}{3}$]；
（3）z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)M（-5，-4）的距離，
由圖可知，z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的最大值為|MB|=$\sqrt{{7}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{85}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．