Question

11．設(shè)直線x+y=1與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，若OA⊥OB，則△OAB的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后運用求根公式，求得A，B的坐標(biāo)，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，求得p，由兩點的距離公式可得OA，OB的長，利用三角形的面積公式計算即可得到．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x+y=1與拋物線y²=2px，得y²+2py-2p=0，
解得y₁=-p+$\sqrt{{p^2}+2p}$，x₁=1+p-$\sqrt{{p^2}+2p}$，y₂=-p-$\sqrt{{p^2}+2p}$，x₂=1+p+$\sqrt{{p^2}+2p}$，
由OA⊥OB得，x₁x₂+y₁y₂=0，即[（1+p）²-（p²+2p）]+[p²-（p²+2p）]=0，
化簡得2p=1，即p=$\frac{1}{2}$，
從而A（$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$），B（$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$），
|OA|²=x₁²+y₁²=5-2$\sqrt{5}$，|OB|²=x₂²+y₂²=5+2$\sqrt{5}$，
△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{25-20}$=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$．
故選B．

點評 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，求得交點，運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．